第223章 听说马焦对考研信心不足而且资料没买之后马飞给他发了一些文档资料

    

    2020年8月11日，凌晨。

    反省自己，言行有诸多不可取之处。对陌生人要慎言慎行。不可张扬，不可胡闹，不可阴阳怪气，不可恶意中伤，不可言语轻佻下流，不可分享情感及经历，不可露面及透露信息。终究是自己面前才做自己？还是不要太在意他人看法？呜呼何以度？讨厌与被讨厌都是避免不了的。说教无益，折断的骨头……

    略微的迷茫。

    矛盾点到底在哪里呢？

    可是是我有些在意陌生人的看法了，以至于我开始因此而难受。我的行为可能变化不多，又或是言行变垃圾了些许。或许只是我近期敏感了一丢丢。

    我当然知道世界不是围我转，那么这种失落感到底从何而来呢？

    还是感觉其实不是陌生人。好吧，是这样啊。复杂的情况。没有高数美。

    又要回到一无所有才能快乐的日子了，因为拥有一种不会失去的踏实快乐的感觉。

    ……

    上午。

    没有梦，但是间歇性醒了几次。若是订个什么事在早上，潜意识一定把我从睡眠中搞醒，也就没有梦境大片了。

    ……

    看见了世界的像素，我真的看见了吗。没什么是绝对精准的吧？

    ……

    中午。

    午餐是辣椒炒鸡脯肉、茄子、空心菜、薄片馍馍。

    ……

    退了新生群后轻松多了，更多的是一种精神上的轻松。

    ……

    天空脸红了，是因为夜晚在看她吗？——莉莉娅

    ……

    打游戏。

    ……

    2.1 导数的概念

    昨天说到

    1.y=f(x)=c，求f'(x)

    （c)'=0常数

    2.一般地(x^a)'=ax^(a-1)幂函数

    接着看：

    3.指数函数y=f(x)=a^x (a>0且a≠1)，求f'(x).

    解：f'(x)=lim(Δx→0)[f(x0+Δx)-f(x)]/Δx

    =lim(Δx→0)[a^(x+Δx)-a^x]/Δx

    【Δx是变量，x这里是常数意义，所以可以提取一个a^x】

    =a^xlim(Δx→0)[a^Δx-1]/Δx

    =a^xlim(Δx→0)[e^Δxlna-1]/Δx

    =a^xlim(Δx→0)Δxlna/Δx

    =(a^x)lna

    ∴(a^x)'=(a^x)lna

    特别地，(e^x)'=e^x

    4.对数函数

    y=f(x)=loga^x（a>0且a≠1，x>0）.求f'(x).

    解：f'(x)=lim(Δx→0)[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

    =lim(Δx→0)[loga^(x+Δx)-loga^x]/Δx

    【底数相同的指数函数相减，则底数不变指数相除↓】

    =lim(Δx→0)[1/Δx]loga(1+Δx/x)

    =lim(Δx→0)loga(1+Δx/x)^[1/Δx]

    【基本初等函数在定义域上连续所以可以把log以a为底拿到lim前面↓】

    =logalim(Δx→0)(1+Δx/x)^[1/Δx]

    =logalim(Δx→0)(1+Δx/x)^[x/Δx][1/x]

    【e极限，这里x>0Δx→0，所以Δx/x→0，倒数趋向于∞↓】

    =loga^(e^1/x)

    =1/xloga^e

    【再用换底公式↓】

    =[1/x][lne]/[lna]

    =1/[xlna]

    ∴（loga^x）'=1/[xlna].

    特别地，（lnx）'=1/x.

    ……

    马飞给我分享了一些资料。

    ……

    2.1导数的概念结束，小结一下：

    （c)'=0

    (x^a)'=ax^(a-1)

    (a^x)'=(a^x)lna

    (loga^x)'=1/[xlna].

    现在还没讲三角函数和反三角函数。

    好，现在看第二章第二节：

    2.2 求导法则

    有两个视频，这先看（一）。

    初等函数：

    【材料】常数和基本初等函数

    【动作】四则运算和复合运算

    任务一：材料的求导，即常数和基本初等函数的求导。

    对于5.三角函数

    我们已经解决：

    1(sinx)'=cosx

    2(cosx)'=-sinx

    那么，先解决一下四则运算的问题。

    一、四则法则

    th1设函数u(x)、v(x)可导，则

    1[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)

    2[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    3设v(x)≠0，则[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v2(x)

    证明：

    1易证，不打字了。

    2证明：

    令φ(x)=u(x)v(x)，

    Δφ=φ(x+Δx)-φ(x)=u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x)

    =u(x+Δx)v(x+Δx)-u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)

    =Δu·v(x+Δx)+u(x)·Δv

    则：

    Δφ/Δx=[Δu/Δx]·v(x+Δx)+u(x)·[Δv/Δx]

    【在以下求极限式子中Δx是变量，x不变】

    lim(Δx→0)Δφ/Δx

    =lim(Δx→0)[Δu/Δx]·lim(Δx→0)v(x+Δx)+u(x)·lim(Δx→0)[Δv/Δx]

    【上式中u(x)是常数，因为没有Δx】

    ∵v(x)可导

    ∴v(x)连续

    ∴lim(Δx→0)v(x+Δx)=v(x)

    ∴φ'(x)=lim(Δx→0)Δφ/Δx

    =u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    即[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    3证明：

    令φ(x)=u(x)/v(x)，（v(x)≠0）

    Δφ=φ(x+Δx)-φ(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)-u(x)/v(x)

    【通分，分母v(x)先写只是一种习惯】

    =[u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x+Δx)]/[v(x)v(x+Δx)]

    【处理分子，凑Δ】

    ={u(x+Δx)v(x)-u(x)v(x)-[u(x)v(x+Δx)-u(x)v(x)]}/[v(x)v(x+Δx)]

    =[Δu·v(x)-u(x)·Δv]/[v(x)v(x+Δx)]

    看Δφ/Δx={1/[v(x)v(x+Δx)]}·[(Δu/Δx)·v(x)-u(x)·Δv/Δx]

    lim(Δx→0)Δφ/Δx

    =[1/v(x)]·lim(Δx→0)……

    ……

    被网络运营商信息打断，就起身喝了盒酸奶，舔酸奶盖盖，吃了几片薄饼，因为不想刮皮，就没吃梨子。

    然后保存马飞给的资料。

    继续。

    ……

    lim(Δx→0)Δφ/Δx

    =[1/v(x)]·{1/[lim(Δx→0)v(x+Δx)]}·{[v(x)·lim(Δx→0)Δu/Δx]-[u(x)·lim(Δx→0)Δv/Δx]}

    即φ'(x)=[1/v2(x)]·[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]

    ∴[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v2(x)

    【推论】

    1(ku)'=ku'

    2(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'

    【例1】

    y=x3e^x，求y'

    解：y'=(x3)'e^x+x3(e^x)'

    =3x2e^x+x3e^x

    =略

    【例2】前面正弦余弦倒数已求

    1y=tanx，求y'（三角函数正切）

    2y=cotx，求y'（三角函数余切）

    3y=secx，求y'（三角函数正割）

    4y=cscx，求y'（三角函数余割）

    解：1(tanx)'

    =(sinx/cosx)'

    =[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos2x

    =(cos2x+sin2x)/cos2x

    =1/cos2x

    【正弦sin对余割csc，正割sec对余弦cos】

    【即secx=1/cosx】

    =sec2x

    结论：

    (tanx)'=sec2x

    2(cotx)'

    =(cosx/sinx)'

    =[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin2x

    =[-sin2x-cos2x]/sin2x

    =-1/sin2x

    =-csc2x

    结论：

    (cotx)'=-csc2x

    3(secx)'

    =(1/cosx)'

    =[1'cosx-1·(cosx)']/cos2x

    =sinx/cos2x

    =secx·tanx

    结论：

    (cscx)'=secx·tanx

    4(cscx)'

    =(1/sinx)

    =[0-cosx]/sin2x

    =-cscx·cotx

    结论：

    (cscx)'=-cscx·cotx

    ……

    晚餐，剩菜。

    ……

    【小结】

    (sinx)'=cosx

    (cosx)'=-sinx

    (tanx)'=sec2x

    (cotx)'=-csc2x

    (secx)'=secx·tanx

    (cscx)'=-cscx·cotx.

    可以发现还是有规律的。

    ……

    【例3】

    y=f(x)=x(x+1)…(x+99)，求f'(0).

    解：法一：

    f'(0)=lim(x→0)[f(x)-f(0)]/(x-0)

    =lim(x→0)(x+1)…(x+99)

    【发现是多项式嘛，初等函数在定义域内都是连续的嘛，极限值等于函数值】

    =99!

    法二：

    f'(x)=(x+1)(x+2)…(x+99)+x(x+2)…(x+99)+…+x(x+1)…(x+98)

    ∴f'(0)=99!

    ……

    2.2求导法则（二）

    【引言】

    基本初等函数里，幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的求导已经解决，那么基本初等函数——反三角函数怎么求导呢？

    反三角函数是三角函数的反函数，那么我们是不是可以通过反函数求导来解决反三角函数的求导问题呢？

    【严格单调的函数才有反函数】

    二、反函数求导法则

    y=f(x)严格单调

    y=f(x)→ x=φ(y)【不用对调】

    左右x、y一样。左右式子xy角色身份互换而已，其他一样。

    th2：设y=f(x)可导且f'(x)≠0，x=φ(y)为反函数，则x=φ(y)可导，且φ'(y)=1/f'(x).

    【理解】一阶导数不为0，那么要么一阶导数大于0要么小于0，这两种情况都证明f(x)严格单调，所以有反函数。

    【疑问】一阶导数不能一会儿大于0一会儿小于0吗？

    【回答】试想一下，如果一阶导数既有大于0又有小于0的部分，那它必然经过0，与一阶导数不为零相矛盾。所以不会既有大于0部分也有小于0部分。

    【疑问】函数可导，一阶导数一定连续吗？

    我搜了一下发现也有很多人搜了这个问题。

    大概是这样：函数连续可导则函数处处存在导数且一阶导函数连续。

    也有人说到局部保号性。

    这里老师说的没加连续两字，老师的不注意细节，毁了我好多温柔。于是我看了我教材上的定理2：

    定理2：如果函数 x= f(y)在区间iy内单调、可导且f'(y)≠0，那么它的反函数y=f?1(x)在对应区间ix={x|x= f(y)，y∈iy}内也可导，且

    [f?1(x)]'=1/f'(y)或【这里ddd的就不写了看起来像废话但其实不是废话】

    所以这么来看定理二就没有这个一阶导数不等于0然后的问题了，就直接说了原函数单调可导、导数不等于0。

    这次觉得教材还挺棒的。当然一直教材都是还可以的。我就觉得我高数老师也讲的不错，只不过这是我粗略学过高数之后来听0基础课所以觉得汤老师讲的不错。当然也确实不错。我高数老师上课证明时我还打过盹，害，我要是像阿福一样高数能考100分就好了。

    高中：数学90？什么垃圾！

    大学：数学60？耶！

    当然略有夸张。

    ……

    我去洗个头，回来接着看定理的证明，粗看了一下书上定理二的证明还挺简单的。

    还有就是书上说上述结论可简单陈述为：（我加了高光）【反函数的导数等于直接函数导数的倒数】

    念起来也挺带劲的。

    ……