第226章 说着傻逼数学二十道错五道的马涛吐槽谁他喵有那个构思能力中值定理啊

    

    2020年8月12日。

    好了来看例2。

    【例2】y=lntan(x2+e^(2x)).求y'

    【这个地方也可以写成y'】

    解：(dy/dx)

    ={1/[tan(x2+e^(2x))]}xsec2(x2+e^(2x))x(2x+2e^(2x))

    【第一个部分lnx求导就是1/x】

    【乘第二个部分求导tanx求导sec2x】

    【乘第三个部分求导多项式求导各自求导就行了】

    好了写起来很简单，做的时候要注意。跟着做当然觉得简单，自己做就各种错，还是要先细心耐心才行。

    来看一下下一个例子。

    【例3】y=e^[sin(x+1/x)]，求y'

    解：在本子上写了，简单，略。

    【例4】y=arctan2[(1-x)/(1+x)]，求y'

    y'

    =2arctan[(1-x)/(1+x)]x1/{1+[(1-x)/(1+x)]2}x(-2)/(1+x)2

    =2arctan[(1-x)/(1+x)]x{(1+x)2/[(1+x)2+(1-x)2]}x(-2)/(1+x)2

    =-4arctan[(1-x)/(1+x)]x1/(1+x2)

    这里汤老师应该是-2忘了。

    【另外】

    (x^n)'证明了，而(x^a)'没有证明。其中n是正整数，a是任意实数。

    (x^a)'计算可以换作[e^(alnx)]'=[e^(alnx)]xax(1/x)=ax^(a-1)，这样就舒服了

    所以再用复合函数求导法则再来证明（计算）前面的公式就简单了

    1常数及基本初等函数求导基本公式

    1.（c)'=0

    2.(x^a)'=ax^(a-1)

    3.(a^x)'=(a^x)lna

    (e^x)'=e^x

    4.(loga^x)'=1/[xlna]

    (lnx)'=1/x

    5.1(sinx)'=cosx

    2(cosx)'=-sinx

    3(tanx)'=sec2x

    4(cotx)'=-csc2x

    5(secx)'=secx·tanx

    6(cscx)'=-cscx·cotx.

    6.1(arcsinx)'=1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）

    2(arccosx)'=-1/[1-x2]^?（-1＜x＜1）

    3(arctanx)'=1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）

    4(arccotx)'=-1/[1+x2]（-∞＜x＜+∞）

    2四则运算求导法则

    1.u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x)

    2.[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

    3.设v(x)≠0，

    则[u(x)/v(x)]'=[u'(x)v(x)-u(x)v'(x)]/v2(x)

    3复合运算求导法则——链式法则

    y=f(u)可导，u=φ(x)可导且φ'(x)≠0，

    则y=f[φ(x)]可导且

    (dy/dx)=(dy/du)·(du/dx)=f'(u)·φ'(x)=f'[φ(x)]·φ'(x).

    好，2.2求导法则到这里结束。

    接下来是2.3高阶导数

    内容较少也很简单。

    ……

    这里我先顺便把中学三角公式写一下。

    三角函数相关公式

    1.三角函数

    sinx、cosx、tanx、cotx、secx、cscx

    2.同角三角函数基本关系式

    1导数关系：

    sina·csca=1，cosa·seca=1，tana·cota=1.

    2商数关系：

    tana=sina/cosa，cota=cosa/sina.

    3平方关系：

    sin2a+cos2a=1，1+tan2a=sec2a，1+cot2a=csc2a.

    3.诱导公式

    略

    4.和角公式、差角公式

    sin(a+β)=sinacosβ+cosasinβ，

    sin(a-β)=sinacosβ-cosasinβ，

    cos(a+β)=cosacosβ-sinasinβ，

    cos(a-β)=cosacosβ+sinasinβ，

    tan(a+β)=(tana+tanβ)/(1-tanatanβ)，

    tan(a-β)=(tana-tanβ)/(1+tanatanβ).

    5.二倍角公式

    sin2a=2sinacosa，

    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

    tan2a=2tana/(1-tan2a)

    6.万能公式

    sin2a=2tana/1+tan2a，

    cos2a=(1-tan2a)/(1+tan2a)，

    tan2a=2tana/(1-tan2a)

    也就是说，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。不过高数好像用的并不多。

    7.和差化积公式

    sina+sinβ=2sin((a+β)/2)cos((a-β)/2)，

    sina-sinβ=2cos((a+β)/2)sin((a-β)/2)，

    cosa+cosβ=2cos((a+β)/2)cos((a-β)/2)，

    cosa-cosβ=-2sin((a+β)/2)sin((a-β)/2)，

    8.积化和差公式

    sinacosβ=(1/2)[sin(a+β)+sin(a-β)]，

    cosasinβ=(1/2)[sin(a+β)-sin(a-β)]，

    cosacosβ=(1/2)[cos(a+β)+cos(a-β)]，

    sinasinβ=-(1/2)[cos(a+β)-cos(a-β)].

    9.辅助角公式

    asinx+bcosx=(a2+b2)^?sin(x+φ)

    角φ的终边所在的象限与点（a，b）所在的象限相同，并且有

    sinφ=b/(a2+b2)^?，cosφ=a/(a2+b2)^?，

    tanφ=b/a.

    感觉梦回高三啊。或者梦回初三？

    不过用的都不多感觉，但是一用到的话就混混沌沌的。

    继续听课，高阶导数定义。主要看了下写法，一个是(d/dx)f就表示f对x求一次导。还有就是一撇两撇就是一阶导二阶导，'，''。

    (d2y/dx2)、y''、f''(x)。二阶导写法。

    (d3y/dx3)、y'''、f'''(x)。三阶。

    如果四阶五阶呢？

    f(?)(x)四阶，右上角括号里面加数字表示高阶导数。

    二阶及以上的导数称高阶导数。

    【例1】略

    【例2】y=e^(3x)，求y的10阶导数

    3^(10)·e^(3x)

    方法一：归纳法

    【例1】

    y=sinx，求y的n阶导数

    解：y'=cosx=sin(x+π/2)

    y''=-sinx=sin(x+2π/2)

    y'''=-cosx=sin(x+3π/2)

    y的四阶导数=sinx=sin(x+4π/2)

    ∴y的n阶导数=sin(x+nπ/2)

    即sinx的n阶导数=sin(x+nπ/2)

    同理cosx的n阶导数=cos(x+nπ/2)

    【例2】

    y=(e^x)sinx，求y的n阶导数

    解：y'=(e^x)sinx+(e^x)cosx

    =(2^?)(e^x)sin(x+π/4).

    ∴由归纳法，

    y的n阶导数=[(2^?)^n](e^x)sin(x+nπ/4).

    【例3】y=1/(2x+1)，求y的n阶导数

    解：y=(2x+1)?1

    y′=(-1)(2x+1)?2x2

    y″=(-1)(-2)(2x+1)?3·22

    y的n阶导数={[(-1)^n]n!x2^n}/(2x+1)^(n+1)

    【记】

    1sinx的n阶导数=sin(x+nπ/2)

    2cosx的n阶导数=cos(x+nπ/2)

    31/(ax+b)的n阶导数={[(-1)^n]n!xa^n}/(ax+b)^(n+1)

    【例4】f(x)=1/(x2-1)，求f(x)的n阶导数.

    解：f(x)=1/2[1/(x-1)-1/(x+1)]

    f(x)的n阶导数

    =?[{[(-1)^n]n!}/(x-1)^(n+1)-{[(-1)^n]n!}/(x+1)^(n+1)]

    【例5】y=ln(3x+2).求y的n阶导数，n≥1

    解：

    ……

    晚餐，剩菜。

    ……

    y′=[1/(3x+2)]x3

    求y的n阶导数，实际上就是求y′的n-1阶导数，又可以用

    1/(ax+b)的n阶导数={[(-1)^n]n!xa^n}/(ax+b)^(n+1)来解决了。

    y的n阶导数={[(-1)^n-1](n-1)!x3^n)}/(3x+2)^n

    方法二：公式法

    (uv)'=u'v+uv'

    (uv)″=u''v+2u'v'+uv''

    …

    【记】莱布利兹leibniz公式

    (uv)的n阶导数=打出来的不好看，就不写了。

    【例1】y=x2e^x，求y的5阶导数

    解：y的5阶导数

    =c05(e^x)五阶·x2+c15(e^x)四阶·2x+c25(e^x)三阶·2+c35(e^x)″·0+0+0

    【c15，五个选1个，=5】

    【组合数公式c(n，m)=n!/((n-m)!*m!)（m≤n）】

    【5*4*3*2*1/3*2*1*2*1=10】

    =x2e^x+10xe^x+20e^x

    【例2】y=x2sinx，求y的6阶导数

    解：y的6阶导数

    =c(6，0)sinx六阶导数·x2+c(6，1)sinx五阶导数·2x+c(6，2)sinx四阶导数·2

    =x2sin(x+6π/2)+12sin(x+5π/2)+30sin(x+4π/2)

    =-x2sinx+12xcosx+30sinx

    2.3高阶导数就到这里。

    看2.4隐函数及由参数方程确定的函数求导

    这第四节很重要。

    这有两个话题，一个是隐函数求导，一个是由参数方程确定的函数的求导。

    这节很重要就留到明天看吧。我想想今天学了什么啊，先是解决了四个反三角函数，反函数求导法则及证明昨天看了，就是倒数关系嘛。然后就是复合函数求导法则，定理，证明，例子，于是就总结了初等函数求导。然后我回顾三角函数相关的公式，还中学不努力的账，但是反三角、余切、正割、余割我中学也没咋学啊。中学老师的锅。然后就是高阶导数这一节，定义，然后是方法及其例子。

    ……

    群里面马涛叫着什么数学题20个错五个，这他喵是抱怨还是炫耀？艹！于是马飞当即反击。马负乘仍然不发言。我则窥屏。

    ……

    高中女同学给我大四了想考研的说说点赞评论加油，还蛮想她的。也不是特别想吧，也就一般想。我就是这样，某种联系出现才会激发情感，普通很少激发。除非是主动忆往昔峥嵘岁月稠时。